Rangkuman Penting ‼️Materi Barisan Aritmetika Kelas XI Semester Ganjil Terlengkap

Table of Contents

BAHAN AJAR

Barisan Aritmetika

Mata Pelajaran: Matematika

Fase: F Kelas: XI Materi: Barisan Aritmetika Alokasi Waktu: 2 × 40 Menit

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari bahan ajar ini, peserta didik diharapkan mampu:

• Menentukan beda suatu barisan aritmetika berdasarkan pola bilangan yang diberikan.
• Mengidentifikasi suku pertama (a) dan beda (b) dari suatu barisan aritmetika.
• Menggunakan rumus umum untuk menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika.
• Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan penentuan suku ke-n dan beda barisan aritmetika.

B. Apersepsi

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan suatu keadaan yang bertambah atau berkurang secara tetap.

Perhatikan ilustrasi berikut.

Baris pertama sebuah aula memiliki 8 kursi. Setiap baris berikutnya bertambah 4 kursi.

Jumlah kursi setiap baris menjadi:

8, 12, 16, 20, 24, ...

Jika panitia ingin mengetahui jumlah kursi pada baris ke-25, apakah mereka harus menuliskan seluruh jumlah kursi dari baris pertama sampai baris ke-25?

Tentu tidak.

Matematika menyediakan suatu rumus yang memungkinkan kita menentukan suku ke-n secara cepat tanpa harus menuliskan seluruh suku. Pola bilangan seperti ini disebut barisan aritmetika.

C. Konsep Inti

1. Apa itu Barisan Aritmetika?

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih (beda) yang selalu tetap antara dua suku yang berurutan.

Perhatikan contoh berikut.

5, 8, 11, 14, 17, ...

Selisih setiap dua suku berurutan adalah

8 − 5 = 3

11 − 8 = 3

14 − 11 = 3

Karena selisihnya selalu 3, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.

Tahukah Kamu?

Tidak semua barisan merupakan barisan aritmetika.

Misalnya: 3, 6, 12, 24, ...

Selisihnya adalah 3, 6, 12. Karena selisihnya tidak tetap, maka barisan tersebut bukan barisan aritmetika.

2. Mengenal Suku Pertama dan Beda

Dalam barisan aritmetika terdapat dua informasi penting.

Suku pertama (a)
Merupakan suku yang berada pada urutan pertama.

Beda (b)
Merupakan selisih antara dua suku yang berurutan.

Contoh:

7, 12, 17, 22, 27, ...

Maka
a = 7
b = 5

3. Cara Menentukan Beda

Gunakan rumus sederhana

b = suku berikutnya − suku sebelumnya

Contoh 1

20, 15, 10, 5, 0, ...
b = 15 − 20
b = −5
Jadi barisan tersebut merupakan barisan aritmetika turun.

Contoh 2

2, 6, 10, 14, ...
b = 6 − 2
b = 4

Tips Cepat

Jika:

• b > 0 → barisan naik
• b < 0 → barisan turun
• b = 0 → semua suku sama

D. Rumus Umum Suku ke-n

Misalkan
a = suku pertama
b = beda
n = nomor suku

maka suku ke-n dinyatakan dengan rumus

U_n = a + (n − 1)b

Rumus ini digunakan untuk menentukan suku mana pun tanpa harus menuliskan seluruh barisan.

Makna Setiap Variabel

Simbol	Arti
a	suku pertama
b	beda
n	nomor suku
Un	suku ke-n

E. Langkah Menentukan Suku ke-n

Gunakan langkah berikut.

Langkah 1: Tentukan nilai a.

Langkah 2: Hitung nilai b.

Langkah 3: Tentukan nomor suku (n).

Langkah 4: Substitusikan ke rumus U_n = a + (n − 1)b

Langkah 5: Hitung hasilnya.

F. Contoh Soal Bertahap

Contoh 1

Tentukan suku ke-10 dari

4, 8, 12, 16, ...

Penyelesaian
Diketahui:
a = 4
b = 4
n = 10

U₁₀ = 4 + (10 − 1)(4)
U₁₀ = 4 + 36
U₁₀ = 40

Jadi, suku ke-10 adalah 40.

Contoh 2

Tentukan suku ke-20 dari

7, 10, 13, 16, ...

Penyelesaian
Diketahui:
a = 7
b = 3
n = 20

U₂₀ = 7 + (20 − 1)(3)
U₂₀ = 7 + 57
U₂₀ = 64

Jadi, suku ke-20 adalah 64.

Contoh 3 (Kontekstual)

Seorang siswa menabung setiap minggu.
Minggu pertama ia menabung Rp20.000.
Setiap minggu berikutnya jumlah tabungan bertambah Rp5.000.
Berapa jumlah tabungan pada minggu ke-18?

Penyelesaian
Diketahui:
a = 20.000
b = 5.000
n = 18

U₁₈ = 20.000 + (18 − 1)(5.000)
U₁₈ = 20.000 + 85.000
U₁₈ = 105.000

Jadi, jumlah tabungan pada minggu ke-18 adalah Rp105.000.

G. Kesalahan yang Sering Terjadi

• Kesalahan 1: Salah menentukan beda.
  Misalnya 4, 8, 12, 16 ditulis b = 8. Padahal b = 8 − 4 = 4.
• Kesalahan 2: Lupa menggunakan (n − 1).
  Sebagian siswa menulis U_n = a + nb. Padahal rumus yang benar adalah U_n = a + (n − 1)b.
• Kesalahan 3: Keliru menentukan suku pertama.
  Pada barisan 25, 20, 15, 10, ... ada siswa yang menuliskan a = 20. Padahal a = 25.
• Kesalahan 4: Menganggap semua barisan merupakan barisan aritmetika.
  Padahal syarat utama adalah beda harus selalu tetap.

H. Ringkasan

• Barisan aritmetika adalah barisan yang mempunyai beda tetap.
• Beda diperoleh dari selisih dua suku yang berurutan.
• Suku pertama dilambangkan dengan a.
• Beda dilambangkan dengan b.
• Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n − 1)b.
• Untuk menentukan suku ke-n, tentukan terlebih dahulu nilai a, b, dan n, kemudian substitusikan ke dalam rumus.

I. Latihan Singkat

Soal 1

Tentukan beda dari barisan berikut.

10, 15, 20, 25, ...

Pembahasan:
b = 15 − 10 = 5

Soal 2

Tentukan suku ke-15 dari

5, 9, 13, 17, ...

Pembahasan:
Diketahui:
a = 5
b = 4
n = 15

U₁₅ = 5 + (15 − 1)(4)
U₁₅ = 5 + 56
U₁₅ = 61

Soal 3

Suatu barisan mempunyai a = 9 dan b = 4. Tentukan suku ke-30.

Pembahasan:
U₃₀ = 9 + (30 − 1)(4)
U₃₀ = 9 + 116
U₃₀ = 125

Soal 4

Suatu barisan adalah 20, 17, 14, 11, ...

a. Tentukan beda.
b. Tentukan suku ke-12.

Pembahasan:
a = 20
b = −3

U₁₂ = 20 + (12 − 1)(−3)
U₁₂ = 20 − 33
U₁₂ = −13