Materi Suku Sisipan Barisan Aritmetika Kelas XI Semester Ganjil Terlengkap, Segera Pelajari ‼️

Table of Contents

BAHAN AJAR MATEMATIKA: BARISAN ARITMETIKA

Satuan Pendidikan: SMAN 16 Garut
Mata Pelajaran: Matematika (Fase F)
Kelas / Semester: XI / Ganjil
Materi: Sisipan pada Barisan Aritmetika (Pertemuan 4)

KONSEP DASAR SISIPAN BARISAN ARITMETIKA

Pengertian Dasar

Proses penyisipan merupakan kegiatan menambahkan sejumlah \(k\) buah bilangan di antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika lama sehingga terbentuk barisan aritmetika baru yang tetap memenuhi sifat beda konstan.

Jika diberikan dua suku berurutan \(x\) dan \(y\) dari barisan awal dengan beda \(b = y - x\), lalu di antara dua suku tersebut disisipkan \(k\) buah bilangan, maka terbentuk barisan baru:

\[x, \underbrace{u_1', u_2', u_3', \dots, u_k'}_{k \text{ suku sisipan}}, y\]

Keterangan:

• \(x\) = Suku pertama dari dua suku yang disisipi
• \(y\) = Suku kedua dari dua suku yang disisipi
• \(b\) = Beda barisan awal (\(b = y - x\))
• \(k\) = Banyaknya bilangan yang disisipkan (\(k \in \mathbb{Z}^+\))

Contoh Kasus & Penerapan Kontekstual

• Secara Matematika:
  Diberikan dua suku \(3\) dan \(15\). Jika di antara bilangan tersebut disisipkan \(3\) buah bilangan (\(k = 3\)), maka barisan barunya menjadi:
  • Barisan baru: \(3, \mathbf{6, 9, 12}, 15\)
  • Beda baru (\(b'\)): \(6 - 3 = 3\)
• Konteks Teknik (Pemasangan Tiang Lampu Jalan):
  Di sebuah jalan utama sepanjang 1.200 meter, awalnya sudah terpasang 6 tiang lampu PJU yang menempati posisi dari ujung awal hingga ujung akhir jalan dengan jarak antar tiang yang sama (membentuk barisan aritmetika). Namun, karena jalanan dirasa masih terlalu gelap dan rawan kecelakaan, pemerintah daerah memutuskan untuk menambah 3 tiang lampu baru di setiap sela-sela (di antara dua tiang) yang sudah ada.

  Dari informasi di atas, tentukan:

  1. Jarak antar tiang lampu PJU yang baru setelah disisipkan.
  2. Jumlah total tiang lampu PJU yang terpasang sekarang.

GENERALISASI BEDA BARU (\(b' = \frac{b}{k + 1}\))

Menemukan Pola Beda Baru

Perhatikan analisis hubungan antara beda awal (\(b\)), banyaknya sisipan (\(k\)), dan beda baru (\(b'\)) berikut:

\[ \begin{aligned} \text{Jarak total dua suku awal} &= y - x = b \\ \text{Banyaknya ruang/jeda baru} &= k + 1 \\ \text{Beda baru } (b') &= \frac{\text{Jarak total}}{\text{Banyaknya jeda}} = \mathbf{\frac{b}{k + 1}} \end{aligned} \]

Setiap kali dilakukan penyisipan sebanyak \(k\) bilangan, jarak antara dua suku lama terbagi menjadi \(k + 1\) bagian yang sama panjang.

Sifat Beda Baru

Untuk setiap barisan aritmetika dengan beda awal \(b\) yang disisipi \(k\) buah bilangan, berlaku:

\[b' = \frac{b}{k + 1}\]

Catatan Penting: Banyaknya sisipan \(k\) harus berupa bilangan bulat positif (\(k \in \mathbb{Z}^+\)), sehingga nilai beda baru (\(b'\)) akan selalu lebih kecil dari beda awal (\(b\)) untuk \(k \ge 1\).

GENERALISASI BANYAK SUKU BARU

Menemukan Pola Banyak Suku Baru

Jika proses penyisipan sebanyak \(k\) bilangan dilakukan pada setiap antara dua suku yang berurutan dari barisan yang memiliki \(n\) suku awal, maka:

\[ \begin{aligned} \text{Banyaknya jeda antar suku awal} &= n - 1 \\ \text{Total suku tambahan disisipkan} &= (n - 1) \times k \\ \text{Total seluruh suku baru } (n') &= \mathbf{n + (n - 1)k} \end{aligned} \]

Sifat Banyak Suku Baru

Untuk barisan aritmetika awal dengan \(n\) suku yang disisipi \(k\) bilangan di setiap antara dua suku berurutan, berlaku:

\[n' = n + (n - 1)k\]

Makna Kontekstual: Suku pertama barisan tidak mengalami perubahan (\(a' = a\)), namun suku terakhir barisan baru (\(U_{n'}'\)) akan bergeser posisi menyesuaikan dengan pertambahan total suku baru (\(n'\)).

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Contoh Soal 1 (Menentukan Beda Baru & Suku Hasil Sisipan)

Diketahui barisan aritmetika awal \(5, 29\). Jika di antara kedua suku tersebut disisipkan \(5\) buah bilangan, tentukan:

• a. Beda barisan baru (\(b'\))
• b. Suku ke-4 dari barisan baru (\(U_4'\))

---

Pembahasan:

Diketahui \(a = 5\), \(y = 29\), beda awal \(b = 29 - 5 = 24\), dan \(k = 5\).

1. \(b' = \frac{b}{k + 1} = \frac{24}{5 + 1} = \frac{24}{6} = 4\)
2. \(U_4' = a + (4 - 1)b' = 5 + 3(4) = 5 + 12 = 17\)

Contoh Soal 2 (Aplikasi Kontekstual - Jadwal Latihan Atlet / HOTS)

Seorang pelari marathon merencanakan jadwal latihan. Sesi pertama sejauh \(4\text{ km}\) dan sesi terakhir sejauh \(28\text{ km}\). Di antara kedua sesi tersebut disisipkan \(k\) sesi latihan tambahan secara bertahap. Jika pelari menginginkan kenaikan jarak tiap sesi (\(b'\)) memenuhi \(3\text{ km} \le b' \le 6\text{ km}\) dengan \(k \in \mathbb{Z}^+\), tentukan seluruh nilai \(k\) yang memenuhi!

---

Pembahasan:

Beda awal \(b = 28 - 4 = 24\text{ km}\). Formula beda baru \(b' = \frac{24}{k + 1}\).

Substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

\[ \begin{aligned} 3 &\le \frac{24}{k + 1} \le 6 \\[5pt] \frac{1}{6} &\le \frac{k + 1}{24} \le \frac{1}{3} \quad \text{(dikalikan 24)} \\[5pt] 4 &\le k + 1 \le 8 \\[5pt] 3 &\le k \le 7 \end{aligned} \]

Karena \(k\) bilangan bulat, maka nilai \(k\) yang memenuhi adalah \(k = 3, 4, 5, 6, \text{atau } 7\) (Terdapat 5 pilihan kombinasi sesi sisipan).

RANGKUMAN SIFAT UTAMA

Komponen Sisipan	Formulasi Umum	Keterangan & Syarat
Beda Barisan Baru	\(b' = \frac{b}{k + 1}\)	\(b = \text{beda awal}, k \in \mathbb{Z}^+\)
Banyak Suku Baru	\(n' = n + (n - 1)k\)	\(n = \text{banyak suku awal}\)
Suku ke-\(n\) Baru	\(U_n' = a + (n - 1)b'\)	\(a' = a \text{ (suku pertama tetap)}\)