Materi Suku Tengah dan Suku Sisipan Barisan Aritmetika Matematika Kelas XI, Pelajari ‼️

Table of Contents

Bahan Ajar Pertemuan 3

Suku Tengah & Sisipan pada Barisan Aritmetika

Mata Pelajaran: Matematika Fase / Kelas: F / XI SMA Materi: Lanjutan Barisan Aritmetika Alokasi Waktu: 2 × 40 Menit

Halo sobat pembelajar! Pada artikel sebelumnya, kita sudah membedah tuntas konsep dasar barisan aritmetika—mulai dari cara menemukan pola, menentukan beda, hingga beraksi mencari suku ke-$n$ ($U_n$).

Nah, sekarang bayangkan kamu sedang menyusun antrean atau deretan angka yang panjang. Pernahkah kamu penasaran, "Siapa sih yang duduk tepat di tengah-tengah antrean ini?" Atau bagaimana jika di antara dua angka yang berjauhan, kita ingin mendistribusikan beberapa angka baru secara rata agar pola berurutannya tetap terjaga?

Di situlah dua konsep keren matematika ini berperan: Suku Tengah ($U_t$) dan Sisipan Barisan Aritmetika. Mari kita bedah satu per satu dengan santai!

1. Membedah Rahasia Suku Tengah ($U_t$)

Kunci utama dari suku tengah sederhana saja: Jumlah suku pada barisan tersebut harus ganjil. Jika jumlah sukunya ganjil, pasti ada satu angka di tengah yang membagi barisan menjadi dua kelompok sama besar di kiri dan kanannya.

Coba perhatikan barisan aritmetika simpel berikut:

2,   5,   8,   11,   14

Secara kasat mata, kita langsung tahu bahwa angka 8 adalah suku tengahnya ($U_t = 8$). Tapi, coba perhatikan keajaiban kecil ini:

• Jika kita menjumlahkan suku pertama ($2$) dan suku terakhir ($14$), lalu membaginya dengan 2: $$\frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
• Bahkan jika kita ambil "tetangga" yang mengapitnya ($5$ dan $11$): $$\frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

Bukan cuma nilainya, posisinya pun bisa dicari! Angka 8 berada di suku ke-3 ($t = 3$). Urutan ini didapat dari setengah jumlah total suku ($n = 5$) ditambah 1: $$t = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

FORMULA UTAMA SUKU TENGAH ($U_t$)

Syarat: Banyaknya suku ($n$) harus ganjil dan $n > 1$

$$U_t = \frac{a + U_n}{2}$$

Posisi suku tengah ($t$) ditentukan dengan:

$$t = \frac{n + 1}{2}$$

Keterangan: $a$ = suku pertama | $U_n$ = suku terakhir | $t$ = posisi suku tengah

Ayo Coba Kasus Suku Tengah!

Contoh Soal 1:
Diketahui sebuah barisan aritmetika: $3, 7, 11, 15, \dots, 203$.
a. Tentukan nilai suku tengah barisan tersebut!
b. Suku ke berapakah suku tengah tersebut?

🔍 Lihat Pembahasan Soal 1 Buka / Tutup

Diketahui: $a = 3$, $b = 7 - 3 = 4$, dan $U_n = 203$.

a. Menghitung nilai suku tengah ($U_t$):

$$U_t = \frac{a + U_n}{2} = \frac{3 + 203}{2} = \frac{206}{2} = 103$$

b. Menentukan posisi suku tengah ($t$):
Gunakan rumus suku ke-$t$: $U_t = a + (t - 1)b$

$$103 = 3 + (t - 1)4$$ $$103 = 3 + 4t - 4$$ $$103 = 4t - 1$$ $$104 = 4t \implies t = 26$$

Jadi, nilai suku tengahnya adalah 103 dan berada pada suku ke-26.

Contoh Soal 2:
Suatu barisan aritmetika memiliki total $53$ suku. Jika suku pertamanya adalah $5$ dan suku tengahnya bernilai $57$, hitunglah nilai suku ke-20 ($U_{20}$)!

🔍 Lihat Pembahasan Soal 2 Buka / Tutup

Diketahui: $n = 53$, $a = 5$, dan $U_t = 57$.

Langkah 1: Cari posisi suku tengah ($t$)

$$t = \frac{n + 1}{2} = \frac{53 + 1}{2} = 27$$

Artinya, suku tengah $U_t$ adalah suku ke-27 ($U_{27} = 57$).

Langkah 2: Cari beda ($b$) barisan

$$U_{27} = a + 26b$$ $$57 = 5 + 26b$$ $$52 = 26b \implies b = 2$$

Langkah 3: Hitung suku ke-20 ($U_{20}$)

$$U_{20} = a + 19b = 5 + 19(2) = 5 + 38 = 43$$

Jadi, nilai dari suku ke-20 adalah 43.

2. Seni Menyelipkan Angka: Sisipan Barisan Aritmetika

Pernahkah kamu membayangkan ada dua bilangan, misalnya $x$ dan $y$. Kemudian kita ingin menyisipkan sebanyak $k$ buah bilangan baru di antara keduanya agar membentuk satu barisan aritmetika baru yang rapi?

Ketika bilangan baru disisipkan, otomatis lompatan/selisih antar angka (beda) akan berubah menjadi lebih kecil. Mari kita bedah dua skenario sisipan!

Skenario A: Disisipkan di Antara Dua Bilangan ($x$ dan $y$)

Misalkan di antara bilangan $x$ dan $y$ disisipkan sebanyak $k$ bilangan. Beda baru ($b$) dan jumlah total suku baru ($n$) dapat dihitung dengan rumus berikut:

RUMUS SISIPAN DI ANTARA DUA BILANGAN

Beda Baru ($b$):

$$b = \frac{y - x}{k + 1}$$

Total Suku Baru ($n$):

$$n = k + 2$$

Keterangan: $x$ = bilangan awal | $y$ = bilangan akhir | $k$ = banyak bilangan yang disisipkan

Contoh Soal 3:
Di antara bilangan $4$ dan $229$ disisipkan sebanyak $74$ bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan baru, lalu tuliskan beberapa suku pertamanya!

🔍 Lihat Pembahasan Soal 3 Buka / Tutup

Diketahui: $x = 4$, $y = 229$, dan $k = 74$.

Mencari beda baru ($b$):

$$b = \frac{y - x}{k + 1} = \frac{229 - 4}{74 + 1} = \frac{225}{75} = 3$$

Mencari total suku ($n$):

$$n = k + 2 = 74 + 2 = 76\text{ suku}$$

Sehingga barisan aritmetika baru yang terbentuk adalah:
$4, 7, 10, 13, \dots, 229$ (berjalan dengan penambahan $+3$).

Contoh Soal 4:
Berapa banyak bilangan yang harus disisipkan di antara $5$ dan $325$ agar terbentuk barisan aritmetika dengan beda $8$?

🔍 Lihat Pembahasan Soal 4 Buka / Tutup

Diketahui: $x = 5$, $y = 325$, dan beda yang diinginkan $b = 8$.

Gunakan rumus beda sisipan:

$$b = \frac{y - x}{k + 1}$$ $$8 = \frac{325 - 5}{k + 1}$$ $$8 = \frac{320}{k + 1}$$ $$k + 1 = \frac{320}{8}$$ $$k + 1 = 40 \implies k = 39$$

Jadi, banyak bilangan yang harus disisipkan adalah 39 bilangan.

Skenario B: Disisipkan pada Setiap Dua Suku Berurutan Barisan Aritmetika

Bagaimana jika kita sudah punya satu barisan aritmetika utuh, lalu di setiap celah antar suku yang berurutan kita sisipkan $k$ buah bilangan baru? Barisan tersebut tentu memekar menjadi barisan baru yang lebih panjang dengan beda baru ($b'$) dan jumlah suku baru ($n'$).

RUMUS SISIPAN PADA BARISAN ARITMETIKA UTUH

Beda Baru ($b'$):

$$b' = \frac{b}{k + 1}$$

Banyak Suku Baru ($n'$):

$$n' = n + (n - 1)k$$

Keterangan: $b$ = beda lama | $n$ = banyak suku lama | $k$ = banyak sisipan per celah

Contoh Soal 5:
Diberikan barisan aritmetika awal: $2, 10, 18, 26$. Di antara setiap dua suku berurutan disisipkan $3$ buah bilangan baru sehingga terbentuk barisan aritmetika baru.
Tentukan beda baru ($b'$), banyak suku baru ($n'$), dan tuliskan susunan barisan barunya!

🔍 Lihat Pembahasan Soal 5 Buka / Tutup

Identifikasi Barisan Lama:

• Beda awal ($b$) = $10 - 2 = 8$
• Banyak suku awal ($n$) = $4$
• Banyak sisipan per celah ($k$) = $3$

1. Menghitung Beda Baru ($b'$):

$$b' = \frac{b}{k + 1} = \frac{8}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2$$

2. Menghitung Banyak Suku Baru ($n'$):

$$n' = n + (n - 1)k = 4 + (4 - 1)3 = 4 + (3 \times 3) = 13\text{ suku}$$

3. Susunan Barisan Aritmetika Baru:
Dimulai dari $2$ dengan penambahan $+2$ sebanyak $13$ suku:
$2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26$

Rangkuman Cepat

• Suku Tengah ($U_t$) hanya ada pada barisan dengan jumlah suku ganjil. Dirumuskan $U_t = \frac{a + U_n}{2}$ dengan posisi di suku ke-$t = \frac{n + 1}{2}$.
• Sisipan Dua Angka: Beda barunya menjadi $b = \frac{y - x}{k + 1}$ dan total suku baru $n = k + 2$.
• Sisipan Barisan Utuh: Beda barunya mengecil menjadi $b' = \frac{b}{k + 1}$ dan total suku barunya memekar menjadi $n' = n + (n - 1)k$.

Bagaimana? Ternyata konsep suku tengah dan sisipan pada barisan aritmetika cukup logis dan seru untuk dipecahkan, bukan? Jangan ragu untuk mencoba latihan soal lainnya secara mandiri agar pemahamanmu makin mantap!