Segera Pelajari Materi Barisan Geometri Kelas XI Semester Ganjil Terbaru dan Terlengkap 😃😃

Table of Contents

BAHAN AJAR MATEMATIKA: BARISAN GEOMETRI

Satuan Pendidikan: SMAN 16 Garut
Mata Pelajaran: Matematika (Fase F)
Kelas / Semester: XI / Ganjil
Materi: Menentukan Suku ke-n dan Rasio Barisan Geometri (Pertemuan 5)

KONSEP DASAR BARISAN GEOMETRI

Pengertian Dasar

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara mengalikan dengan suatu bilangan tetap. Bilangan pembanding yang tetap tersebut dinamakan rasio (dilambangkan dengan \(r\)).

Jika suku pertama dilambangkan dengan \(a\) dan rasio dilambangkan dengan \(r\), maka susunan umum barisan geometri dapat dituliskan sebagai:

\[a, \quad a \cdot r, \quad a \cdot r^2, \quad a \cdot r^3, \quad \dots, \quad a \cdot r^{n-1}\]

Keterangan:

• \(a = U_1\) = Suku pertama barisan geometri
• \(r\) = Rasio (pembanding antar suku yang berurutan)
• \(U_n\) = Suku ke-\(n\)
• \(n\) = Urutan suku (\(n \in \mathbb{Z}^+\))

Contoh Kasus & Penerapan Kontekstual

• Secara Matematika:
  Diberikan barisan geometri \(3, 6, 12, 24, \dots\). Dari barisan tersebut diperoleh:
  • Suku pertama (\(a\)): \(3\)
  • Rasio (\(r\)): \(\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = 2\)
• Konteks Biologi (Pembelahan Bakteri di Laboratorium):
  Sebuah sel bakteri di laboratorium biologi diawali dengan \(5\) sel awal. Setiap \(30\) menit, masing-masing sel membrik/membelah diri menjadi \(2\) sel baru secara sempurna.

  Dari informasi di atas, tentukan:

  1. Nilai rasio pembelahan sel per periode \(30\) menit.
  2. Jumlah total bakteri yang terbentuk setelah berlangsung selama \(2{,}5\) jam.

GENERALISASI RASIO (\(r = \frac{U_n}{U_{n-1}}\))

Menemukan Pola Rasio

Perhatikan perbandingan nilai antar suku yang berurutan pada barisan geometri berikut:

\[ \begin{aligned} \frac{U_2}{U_1} &= \frac{a \cdot r}{a} = r \\[5pt] \frac{U_3}{U_2} &= \frac{a \cdot r^2}{a \cdot r} = r \\[5pt] \frac{U_n}{U_{n-1}} &= \mathbf{r} \end{aligned} \]

Rasio selalu diperoleh dari hasil bagi antara suatu suku dengan suku tepat sebelumnya.

Sifat Rasio

Untuk setiap barisan geometri, nilai rasio (\(r\)) bersifat konstan dan dirumuskan sebagai:

\[r = \frac{U_n}{U_{n-1}}\]

Catatan Penting: Nilai rasio (\(r\)) tidak boleh bernilai nol (\(r \neq 0\)). Jika \(r > 1\), barisan disebut naik (monoton naik). Jika \(0 < r < 1\), barisan disebut turun (monoton turun). Jika \(r < 0\), nilai suku-suku barisan akan berganti tanda (berganti positif-negatif).

GENERALISASI SUKU KE-n (\(U_n = a \cdot r^{n-1}\))

Menemukan Pola Suku Ke-n

Dengan mengamati urutan perkalian rasio pada setiap suku, diperoleh keteraturan pola sebagai berikut:

\[ \begin{aligned} U_1 &= a = a \cdot r^0 = a \cdot r^{1-1} \\ U_2 &= a \cdot r = a \cdot r^1 = a \cdot r^{2-1} \\ U_3 &= a \cdot r \cdot r = a \cdot r^2 = a \cdot r^{3-1} \\ U_4 &= a \cdot r \cdot r \cdot r = a \cdot r^3 = a \cdot r^{4-1} \\ &\;\;\vdots \\ U_n &= \mathbf{a \cdot r^{n-1}} \end{aligned} \]

Sifat Suku Ke-n

Untuk setiap barisan geometri dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(r\), suku ke-\(n\) dirumuskan sebagai:

\[U_n = a \cdot r^{n-1}\]

Makna Kontekstual: Pangkat dari rasio (\(r\)) selalu bernilai \(n - 1\), yaitu berkurang satu dari nomor urut suku yang dicari.

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Contoh Soal 1 (Menentukan Rasio dan Suku ke-n)

Diketahui barisan geometri \(81, 27, 9, 3, \dots\). Tentukan:

• a. Rasio barisan (\(r\))
• b. Rumus suku ke-\(n\) (\(U_n\))
• c. Nilai suku ke-6 (\(U_6\))

---

Pembahasan:

Diketahui suku pertama \(a = 81\).

1. \(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}\)
2. \(U_n = a \cdot r^{n-1} = 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = 3^4 \cdot (3^{-1})^{n-1} = 3^4 \cdot 3^{1-n} = 3^{5-n}\)
3. \(U_6 = 3^{5-6} = 3^{-1} = \frac{1}{3}\)

Contoh Soal 2 (Aplikasi Kontekstual - Peluruhan Nilai Jual Mesin / HOTS)

Sebuah mesin produksi dibeli pabrik dengan harga \(\text{Rp}100.000.000,00\). Karena penyusutan fungsi, nilai jual mesin pada akhir tahun mengalami penurunan sehingga menjadi \(\frac{4}{5}\) dari harga jual pada akhir tahun sebelumnya. Berapakah perkiraan harga jual mesin tersebut pada akhir tahun ke-4 penggunaan?

---

Pembahasan:

Harga awal (\(a\)) = \(\text{Rp}100.000.000,00\). Faktor peluruhan/rasio (\(r\)) = \(\frac{4}{5}\).

Harga jual pada akhir tahun ke-4 mewakili nilai suku setelah mengalami 4 kali peluruhan (\(U_5\)):

\[ \begin{aligned} U_5 &= a \cdot r^{5-1} \\ U_5 &= 100.000.000 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 \\ U_5 &= 100.000.000 \cdot \frac{256}{625} \\ U_5 &= 160.000 \cdot 256 = \mathbf{40.960.000} \end{aligned} \]

Jadi, perkiraan harga jual mesin pada akhir tahun ke-4 adalah \(\text{Rp}40.960.000,00\).

RANGKUMAN SIFAT UTAMA

Komponen Barisan	Formulasi Umum	Keterangan & Syarat
Rasio (\(r\))	\(r = \frac{U_n}{U_{n-1}}\)	\(r \neq 0\), pembanding konstan
Suku ke-\(n\) (\(U_n\))	\(U_n = a \cdot r^{n-1}\)	\(a = U_1, n \in \mathbb{Z}^+\)
Hubungan Dua Suku	\(U_n = U_m \cdot r^{n-m}\)	\(n > m\)