Home geometri kelas xi sma

Segera Pelajari Materi Suku Tengah Barisan Geometri Kelas XI, Terbaru dan Terlengkap‼️

Ipung Saepulrohman
Ipung Saepulrohman
• 0 • min read
Table of Contents

BAHAN AJAR MATEMATIKA: BARISAN GEOMETRI

Satuan Pendidikan: SMAN 16 Garut
Mata Pelajaran: Matematika (Fase F)
Kelas / Semester: XI / Ganjil
Materi: Menentukan Suku Tengah Barisan Geometri (Pertemuan 6)

KONSEP DASAR SUKU TENGAH BARISAN GEOMETRI

Pengertian Dasar

Suku tengah (dilambangkan dengan \(U_t\)) merupakan suku yang terletak tepat di posisi paling tengah pada suatu barisan geometri. Keberadaan suku tengah ini memiliki sifat khusus, yaitu hanya ada jika banyaknya suku (\(n\)) pada barisan bernilai ganjil.

Jika diberikan suatu barisan geometri berhingga dengan suku pertama \(a\), suku terakhir \(U_n\), dan banyaknya suku \(n\) (dengan \(n\) ganjil), maka posisi/letak suku tengah (\(t\)) dan suku tengahnya dapat diilustrasikan sebagai berikut:

\[a, \quad U_2, \quad \dots, \quad \mathbf{U_t}, \quad \dots, \quad U_{n-1}, \quad U_n\]

Keterangan:

  • \(a = U_1\) = Suku pertama barisan geometri
  • \(U_n\) = Suku terakhir (suku ke-\(n\))
  • \(U_t\) = Suku tengah (suku ke-\(t\))
  • \(t\) = Indeks/posisi letak suku tengah (\(t = \frac{n+1}{2}\))
  • \(n\) = Banyaknya seluruh suku (\(n = 2t - 1\), ganjil)

Contoh Kasus & Penerapan Kontekstual

  • Secara Matematika:
    Diberikan barisan geometri \(2, 6, 18, 54, 162\). Karena banyaknya suku adalah \(n = 5\) (ganjil), maka:
    • Posisi suku tengah (\(t\)): \(\frac{5+1}{2} = 3\) (suku ke-3)
    • Nilai suku tengah (\(U_t = U_3\)): \(18\)
  • Konteks Teknik (Pembagian Daya Pemancar Sinyal Bertingkat):
    Sebuah jaringan pemancar sinyal terdiri dari \(5\) stasiun penguat (\(n = 5\)) yang disusun secara berantai. Daya pancar dari stasiun pertama hingga stasiun terakhir membentuk barisan geometri. Stasiun pertama memiliki daya sebesar \(5\text{ Watt}\) dan stasiun terakhir (ke-5) memiliki daya sebesar \(80\text{ Watt}\).

    Dari informasi di atas, tentukan:

    1. Posisi stasiun yang bertindak sebagai stasiun penguat tengah.
    2. Besar daya pancar sinyal pada stasiun penguat tengah tersebut.

GENERALISASI LETAK SUKU TENGAH (\(t = \frac{n + 1}{2}\))

Menemukan Pola Letak Suku Tengah

Perhatikan hubungan antara banyaknya seluruh suku (\(n\)) yang ganjil dengan urutan posisi suku tengah (\(t\)) berikut:

\[ \begin{aligned} \text{Jika } n = 3 &\rightarrow \text{posisi tengah } t = 2 \quad \left(\frac{3+1}{2}\right) \\[5pt] \text{Jika } n = 5 &\rightarrow \text{posisi tengah } t = 3 \quad \left(\frac{5+1}{2}\right) \\[5pt] \text{Jika } n = 7 &\rightarrow \text{posisi tengah } t = 4 \quad \left(\frac{7+1}{2}\right) \\[5pt] \mathbf{\text{Secara umum: }} &\mathbf{t = \frac{n + 1}{2} \quad \text{atau} \quad n = 2t - 1} \end{aligned} \]

Posisi suku tengah selalu tepat membagi barisan menjadi dua kelompok suku yang sama banyak di sebelah kiri dan kanan.

Sifat Letak Suku Tengah

Untuk setiap barisan geometri dengan total suku ganjil sebanyak \(n\), indeks posisi suku tengah (\(t\)) dirumuskan sebagai:

\[t = \frac{n + 1}{2}\]
Catatan Penting: Jika banyaknya suku (\(n\)) bernilai genap (misal \(n = 4, 6, 8, \dots\)), maka barisan geometri tidak memiliki suku tengah tunggal dalam himpunan bilangan real.

GENERALISASI RUMUS SUKU TENGAH (\(U_t = \sqrt{a \cdot U_n}\))

Menemukan Pola Rumus Suku Tengah

Dengan mengamati perkalian antara suku pertama (\(a = U_1\)) dan suku terakhir (\(U_n = U_{2t-1}\)), diperoleh analisis hubungan matematis berikut:

\[ \begin{aligned} a \cdot U_n &= U_1 \cdot U_{2t-1} \\ &= a \cdot (a \cdot r^{2t-2}) \\ &= a^2 \cdot r^{2(t-1)} \\ &= (a \cdot r^{t-1})^2 \\ &= (U_t)^2 \end{aligned} \]

Karena \((U_t)^2 = a \cdot U_n\), maka dengan menarik akar kuadrat pada kedua ruas, kita mendapatkan bentuk umum nilai suku tengah.

Sifat Rumus Suku Tengah

Untuk setiap barisan geometri dengan suku pertama \(a\) dan suku terakhir \(U_n\), nilai suku tengah (\(U_t\)) dirumuskan sebagai:

\[U_t = \sqrt{a \cdot U_n}\]

Makna Kontekstual: Nilai suku tengah (\(U_t\)) merupakan rata-rata geometri (mean geometri) antara suku pertama (\(a\)) dan suku terakhir (\(U_n\)).

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Contoh Soal 1 (Menentukan Suku Tengah & Posisi Suku)

Diketahui suatu barisan geometri memiliki suku pertama \(a = 3\) dan suku terakhir \(U_n = 768\). Tentukan:

  • a. Nilai suku tengah (\(U_t\))
  • b. Banyaknya seluruh suku (\(n\)) jika rasionya \(r = 2\)

Pembahasan:

Diketahui \(a = 3\) dan \(U_n = 768\).

  1. \(U_t = \sqrt{a \cdot U_n} = \sqrt{3 \cdot 768} = \sqrt{2.304} = 48\)
  2. Gunakan rumus suku terakhir untuk mencari \(n\): \[ \begin{aligned} U_n &= a \cdot r^{n-1} \\ 768 &= 3 \cdot 2^{n-1} \\ 256 &= 2^{n-1} \\ 2^8 &= 2^{n-1} \Rightarrow n - 1 = 8 \Rightarrow \mathbf{n = 9} \end{aligned} \]

Contoh Soal 2 (Aplikasi Kontekstual - Dosis Peluruhan Obat / HOTS)

Seorang pasien mendapat suntikan obat di rumah sakit. Konsentrasi obat dalam darah diukur setiap jam dan membentuk barisan geometri turun. Hasil pengamatan menunjukkan konsentrasi obat pada jam pertama (\(a\)) adalah \(400\text{ mg/L}\) dan pada jam terakhir pengamatan (\(U_n\)) tersisa \(25\text{ mg/L}\). Jika konsentrasi obat pada jam tengah pengamatan (\(U_t\)) adalah \(100\text{ mg/L}\), tentukan berapa jam total pengamatan dosis obat dilakukan (\(n\)) dan pada jam ke berapa konsentrasi tengah tersebut tercapai (\(t\))!

Pembahasan:

Diketahui \(a = 400\), \(U_t = 100\), dan \(U_n = 25\).

Pertama, uji kebenaran nilai suku tengah:

\[U_t = \sqrt{a \cdot U_n} = \sqrt{400 \cdot 25} = \sqrt{10.000} = 100\text{ (Sesuai)}\]

Selanjutnya, cari rasio peluruhan (\(r\)) menggunakan hubungan suku tengah \(U_t = a \cdot r^{t-1}\) dan \(U_n = a \cdot r^{n-1}\):

\[ \begin{aligned} \frac{U_n}{U_t} &= \frac{a \cdot r^{n-1}}{a \cdot r^{t-1}} = r^{n-t} \\ \frac{25}{100} &= r^{n-t} \Rightarrow r^{n-t} = \frac{1}{4} \end{aligned} \]

Karena \(U_t = a \cdot r^{t-1} \Rightarrow 100 = 400 \cdot r^{t-1} \Rightarrow r^{t-1} = \frac{1}{4}\).

Maka \(t - 1 = n - t \Rightarrow 2t - 1 = n\). Jika rasionya \(r = \frac{1}{2}\):

\[ \begin{aligned} r^{t-1} &= \frac{1}{4} \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{t-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \Rightarrow t - 1 = 2 \Rightarrow \mathbf{t = 3} \\ n &= 2t - 1 = 2(3) - 1 = \mathbf{5} \end{aligned} \]

Jadi, total pengamatan dosis obat dilakukan selama \(5\) jam (\(n = 5\)) dan konsentrasi tengah tercapai pada jam ke-\(3\) (\(t = 3\)).

RANGKUMAN SIFAT UTAMA

Komponen Suku Tengah Formulasi Umum Keterangan & Syarat
Nilai Suku Tengah (\(U_t\)) \(U_t = \sqrt{a \cdot U_n}\) \(a = U_1, U_n = \text{suku terakhir}\)
Posisi Letak Suku Tengah (\(t\)) \(t = \frac{n + 1}{2}\) \(n = \text{banyak suku (wajib ganjil)}\)
Hubungan Jumlah Suku (\(n\)) \(n = 2t - 1\) \(t \in \mathbb{Z}^+\)

Post a Comment