Suku Tengah dan Suku Sisipan pada Barisan Aritmetika, Materi, Contoh Soal dan Pembahasan Terlengkap‼️
Suku Tengah & Sisipan pada Barisan Aritmetika
Halo ananda semuanya! Pada artikel sebelumnya, kita sudah membedah tuntas konsep dasar barisan aritmetika—mulai dari cara menemukan pola, menentukan beda ($b$), hingga beraksi mencari suku ke-$n$ ($U_n$).
Nah, sekarang bayangkan kamu sedang menyusun antrean atau deretan angka yang panjang. Pernahkah kamu penasaran, "Siapa sih yang duduk tepat di tengah-tengah antrean ini?" Atau bagaimana jika di antara dua angka yang berjauhan, kita ingin mendistribusikan beberapa angka baru secara rata agar pola berurutannya tetap terjaga?
Di situlah dua konsep keren matematika ini berperan: Suku Tengah ($U_t$) dan Sisipan Barisan Aritmetika. Materi ini juga menjadi rujukan utama untuk menyelesaikan Kuis Harian CBT Pertemuan 3!
1. Membedah Rahasia Suku Tengah ($U_t$)
Syarat Mutlak Suku Tengah:
Suatu barisan aritmetika memiliki suku tengah ($U_t$) jika dan hanya jika banyaknya suku ($n$) bernilai GANJIL. Jika banyak sukunya genap, maka tidak ada satu suku tunggal yang berada tepat di tengah membagi barisan secara seimbang.
Coba perhatikan barisan aritmetika simpel berikut:
Secara kasat mata, kita langsung tahu bahwa angka 8 adalah suku tengahnya ($U_t = 8$). Mari kita amati hubungan matematis di balik angka ini:
- Suku Pertama ($a$): $2$
- Suku Terakhir ($U_n$): $14$
- Jumlah Suku Pertama dan Terakhir ($a + U_n$): $2 + 14 = 16$
- Jika kita membagi dua hasil penjumlahan tersebut: $$U_t = \frac{a + U_n}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8$$
- Bahkan jika kita ambil "tetangga" yang mengapitnya ($5$ dan $11$): $$\frac{5 + 11}{2} = 8$$
Bukan cuma nilainya, posisinya pun bisa dicari! Angka 8 berada di suku ke-3 ($t = 3$). Indeks/posisi suku tengah $t$ ditentukan dari setengah jumlah total suku ($n = 5$) ditambah 1: $$t = \frac{n + 1}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$
Syarat: Banyaknya suku ($n$) harus ganjil dan $n > 1$
Posisi / Indeks Suku Tengah ($t$):
Atau menggunakan rumus umum suku ke-$t$:
Ayo Coba Kasus Suku Tengah!
Contoh Soal 1 (C2 - Konsep & Nilai $U_t$):
Diketahui barisan aritmetika: $3, 7, 11, 15, \dots, 43$. Tentukan nilai suku tengah ($U_t$) dari barisan tersebut!
🔍 Lihat Pembahasan Soal 1 Buka / Tutup
Diketahui: $a = 3$ dan $U_n = 43$.
Gunakan rumus suku tengah:
$$U_t = \frac{a + U_n}{2} = \frac{3 + 43}{2} = \frac{46}{2} = 23$$Jadi, nilai suku tengah ($U_t$) adalah 23.
Contoh Soal 2 (C3 - Suku Tengah Beruntun):
Diketahui barisan aritmetika: $3, 7, 11, 15, \dots, 203$.
a. Tentukan nilai suku tengah ($U_t$) barisan tersebut!
b. Suku ke berapakah suku tengah tersebut ($t$)?
🔍 Lihat Pembahasan Soal 2 Buka / Tutup
Diketahui: $a = 3$, $b = 7 - 3 = 4$, dan $U_n = 203$.
a. Menghitung nilai suku tengah ($U_t$):
$$U_t = \frac{a + U_n}{2} = \frac{3 + 203}{2} = \frac{206}{2} = 103$$b. Menentukan posisi suku tengah ($t$):
Gunakan rumus suku ke-$t$: $U_t = a + (t - 1)b$
Jadi, nilai suku tengahnya adalah 103 dan berada pada suku ke-26 ($t = 26$).
Contoh Soal 3 (C3 - Menghitung Nilai Suku Lain dari $U_t$):
Diketahui banyaknya suku barisan aritmetika adalah $53$. Jika suku pertamanya $5$ dan suku tengahnya $57$, tentukan nilai suku ke-20 ($U_{20}$)!
🔍 Lihat Pembahasan Soal 3 Buka / Tutup
Diketahui: $n = 53$, $a = 5$, dan $U_t = 57$.
Langkah 1: Cari posisi suku tengah ($t$)
$$t = \frac{n + 1}{2} = \frac{53 + 1}{2} = 27 \implies U_{27} = 57$$Langkah 2: Cari beda ($b$) barisan
$$U_{27} = a + 26b$$ $$57 = 5 + 26b$$ $$52 = 26b \implies b = 2$$Langkah 3: Hitung suku ke-20 ($U_{20}$)
$$U_{20} = a + 19b = 5 + 19(2) = 5 + 38 = 43$$Jadi, nilai dari suku ke-20 adalah 43.
Contoh Soal 4 (C3 - Mencari Nilai Beda $b$ Jika $U_t$ dan $n$ Diketahui):
Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 4$ dan banyaknya suku $n = 19$. Jika suku tengahnya $U_t = 40$, tentukan nilai beda ($b$) barisan tersebut!
🔍 Lihat Pembahasan Soal 4 Buka / Tutup
Diketahui: $a = 4$, $n = 19$, dan $U_t = 40$.
Langkah 1: Cari posisi suku tengah ($t$)
$$t = \frac{n + 1}{2} = \frac{19 + 1}{2} = 10 \implies U_{10} = 40$$Langkah 2: Cari beda ($b$)
$$U_{10} = a + (10 - 1)b$$ $$40 = 4 + 9b$$ $$36 = 9b \implies b = 4$$Jadi, nilai beda ($b$) barisan tersebut adalah 4.
Contoh Soal 5 (C3 - Mencari Banyak Suku $n$ dari $U_t$):
Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama $a = 12$, beda $b = 4$, dan suku tengah $U_t = 52$. Berapakah banyaknya suku ($n$) pada barisan tersebut?
🔍 Lihat Pembahasan Soal 5 Buka / Tutup
Diketahui: $a = 12$, $b = 4$, dan $U_t = 52$.
Langkah 1: Cari posisi suku tengah ($t$)
$$U_t = a + (t - 1)b$$ $$52 = 12 + (t - 1)4$$ $$40 = (t - 1)4$$ $$t - 1 = 10 \implies t = 11$$Langkah 2: Cari banyak suku ($n$)
$$t = \frac{n + 1}{2} \implies 11 = \frac{n + 1}{2}$$ $$22 = n + 1 \implies n = 21$$Jadi, banyaknya suku ($n$) pada barisan tersebut adalah 21 suku.
2. Seni Menyelipkan Angka: Sisipan Barisan Aritmetika
Pernahkah kamu membayangkan ada dua bilangan, misalnya $x$ dan $y$. Kemudian kita ingin menyisipkan sebanyak $k$ buah bilangan baru di antara keduanya agar membentuk satu barisan aritmetika baru yang rapi?
Ketika bilangan baru disisipkan, otomatis lompatan/selisih antar angka (beda) akan berubah menjadi lebih kecil. Mari kita bedah dua skenario sisipan!
Skenario A: Disisipkan di Antara Dua Bilangan ($x$ dan $y$)
Misalkan di antara bilangan $x$ dan $y$ disisipkan sebanyak $k$ bilangan. Beda baru ($b$) dan jumlah total suku baru ($n$) dapat dihitung dengan rumus berikut:
Beda Baru ($b$):
Total Suku Baru ($n$):
Contoh Soal 6:
Di antara bilangan $4$ dan $229$ disisipkan sebanyak $74$ bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan baru, lalu tuliskan beberapa suku pertamanya!
🔍 Lihat Pembahasan Soal 6 Buka / Tutup
Diketahui: $x = 4$, $y = 229$, dan $k = 74$.
Mencari beda baru ($b$):
$$b = \frac{y - x}{k + 1} = \frac{229 - 4}{74 + 1} = \frac{225}{75} = 3$$Mencari total suku ($n$):
$$n = k + 2 = 74 + 2 = 76\text{ suku}$$Sehingga barisan aritmetika baru yang terbentuk adalah:
$4, 7, 10, 13, \dots, 229$ (berjalan dengan penambahan $+3$).
Contoh Soal 7:
Berapa banyak bilangan ($k$) yang harus disisipkan di antara $5$ dan $325$ agar terbentuk barisan aritmetika dengan beda $8$?
🔍 Lihat Pembahasan Soal 7 Buka / Tutup
Diketahui: $x = 5$, $y = 325$, dan beda yang diinginkan $b = 8$.
Gunakan rumus beda sisipan:
$$b = \frac{y - x}{k + 1} \implies 8 = \frac{325 - 5}{k + 1}$$ $$8 = \frac{320}{k + 1} \implies k + 1 = \frac{320}{8}$$ $$k + 1 = 40 \implies k = 39$$Jadi, banyak bilangan yang harus disisipkan adalah 39 bilangan.
Skenario B: Disisipkan pada Setiap Dua Suku Berurutan Barisan Aritmetika
Bagaimana jika kita sudah punya satu barisan aritmetika utuh, lalu di setiap celah antar suku yang berurutan kita sisipkan $k$ buah bilangan baru? Barisan tersebut tentu memekar menjadi barisan baru yang lebih panjang dengan beda baru ($b'$) dan jumlah suku baru ($n'$).
Beda Baru ($b'$):
Banyak Suku Baru ($n'$):
Contoh Soal 8:
Diberikan barisan aritmetika awal: $2, 10, 18, 26$. Di antara setiap dua suku berurutan disisipkan $3$ buah bilangan baru sehingga terbentuk barisan aritmetika baru.
Tentukan beda baru ($b'$), banyak suku baru ($n'$), dan tuliskan susunan barisan barunya!
🔍 Lihat Pembahasan Soal 8 Buka / Tutup
Identifikasi Barisan Lama:
- Beda awal ($b$) = $10 - 2 = 8$
- Banyak suku awal ($n$) = $4$
- Banyak sisipan per celah ($k$) = $3$
1. Menghitung Beda Baru ($b'$):
$$b' = \frac{b}{k + 1} = \frac{8}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2$$2. Menghitung Banyak Suku Baru ($n'$):
$$n' = n + (n - 1)k = 4 + (4 - 1)3 = 4 + (3 \times 3) = 13\text{ suku}$$3. Susunan Barisan Aritmetika Baru:
Dimulai dari $2$ dengan penambahan $+2$ sebanyak $13$ suku:
$2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26$
Rangkuman Cepat Rujukan Kuis
- Syarat Suku Tengah: Banyaknya suku ($n$) harus bernilai GANJIL.
- Rumus Utama $U_t$: $U_t = \frac{a + U_n}{2}$. Posisi indeksnya berada di $t = \frac{n + 1}{2}$.
- Hubungan $U_t$ dan $b$: $U_t = a + (t - 1)b$.
- Sisipan Dua Angka: Beda barunya menjadi $b = \frac{y - x}{k + 1}$ dan total suku baru $n = k + 2$.
- Sisipan Barisan Utuh: Beda barunya mengecil menjadi $b' = \frac{b}{k + 1}$ dan total suku barunya memekar menjadi $n' = n + (n - 1)k$.
Bagaimana? Ternyata konsep suku tengah dan sisipan pada barisan aritmetika cukup logis dan seru untuk dipecahkan, bukan? Pelajari konsep-konsep di atas dengan teliti sebelum kamu memulai ujian Kuis Harian CBT Pertemuan 3!
Post a Comment