Home Fungsi Invers dari Fungsi Rasional Kelas 11: Contoh Soal, Pembahasan & Latihan Lengkap

Fungsi Invers dari Fungsi Rasional Kelas 11: Contoh Soal, Pembahasan & Latihan Lengkap

Table of Contents
Materi ini ditujukan untuk siswa Kelas 11. Akan dibahas 3 contoh soal lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah, lalu disediakan 5 soal latihan sejenis.

A. Pengingat singkat

Fungsi invers \(f^{-1}\) dari suatu fungsi \(f\) memenuhi \[f(f^{-1}(x)) = x\] 
dan
 \[f^{-1}(f(x)) = x\] 

Untuk mencari invers suatu fungsi, langkah umum:

  1. Tulis \(y = f(x)\).
  2. Tukar posisi \(x\) dan \(y\) (menjadikan \(x = f(y)\)).
  3. Selesaikan persamaan untuk \(y\) — hasilnya \(y = f^{-1}(x)\).

B. Contoh Soal Terurai

Contoh 1

Soal. Cari invers dari fungsi \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\) (domain: \(x\neq 1\)).

  1. Tulis \(y=\dfrac{2x+3}{x-1}\).
  2. Tukar \(x\) dan \(y\): \(x=\dfrac{2y+3}{y-1}\).
  3. Selesaikan untuk \(y\): \[ x = \frac{2y+3}{y-1} \] Kalikan silang: \[ x(y-1)=2y+3 \] \[ xy - x = 2y + 3 \] Pindahkan suku \(y\) ke satu sisi: \[ xy - 2y = x + 3 \] Faktorkan \(y\): \[ y(x-2)=x+3 \] Jadi \[ y = \frac{x+3}{x-2}. \]
  4. Maka inversnya adalah \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{x-2}\), dengan domain \(x\neq 2\).

Contoh 2

Soal. Cari invers dari \(f(x)=\dfrac{3x-1}{2x+5}\).

  1. Tulis \(y=\dfrac{3x-1}{2x+5}\).
  2. Tukar \(x\) dan \(y\): \(x=\dfrac{3y-1}{2y+5}\).
  3. Selesaikan untuk \(y\): \[ x(2y+5)=3y-1 \] \[ 2xy + 5x = 3y - 1 \] \[ 2xy - 3y = -1 - 5x \] Faktorkan \(y\): \[ y(2x - 3) = -(5x+1) \] \[ y = \frac{-(5x+1)}{2x-3} = \frac{5x+1}{3-2x}. \]
  4. Maka \(f^{-1}(x)=\dfrac{5x+1}{3-2x}\), dengan domain \(x\neq \tfrac{3}{2}\).

Contoh 3

Soal. Cari invers dari \(f(x)=\dfrac{-x+4}{x}\) untuk domain \(x\neq 0\).

  1. Tulis \(y=\dfrac{-x+4}{x}\).
  2. Tukar \(x\) dan \(y\): \(x=\dfrac{-y+4}{y}\).
  3. Selesaikan untuk \(y\): \[ x = \frac{-y+4}{y} \] \[ xy = -y + 4 \] \[ xy + y = 4 \] \[ y(x+1)=4 \] \[ y = \frac{4}{x+1}. \]
  4. Maka \(f^{-1}(x)=\dfrac{4}{x+1}\), dengan domain \(x\neq -1\).

C. Catatan Penting tentang Domain & Range

Saat mencari invers, perhatikan pembatas domain akibat penyebut nol atau pembatas lain. Setelah menemukan ekspresi invers, tentukan juga domain invers dengan menggantikan kondisi yang membuat penyebut nol atau yang tidak berada pada range fungsi asli.

D. Latihan (5 soal)

Kerjakan tanpa melihat jawaban. Jawaban disembunyikan di bagian bawah sebagai kunci.

  • Soal 1. Tentukan invers dari \(f(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}\).
  • Soal 2. Tentukan invers dari \(f(x)=\dfrac{2x-3}{-x+4}\).
  • Soal 3. Tentukan invers dari \(f(x)=\dfrac{5}{x-1}+2\).
  • Soal 4. Tentukan invers dari \(f(x)=\dfrac{x+2}{3x-1}\).
  • Soal 5. Tentukan invers dari \(f(x)=\dfrac{-2x+6}{x}\) untuk domain \(x\neq 0\).
Klik untuk melihat kunci jawaban
  1. \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{4-x}\).
  2. \(f^{-1}(x)=\dfrac{4x+3}{2+x}\).
  3. \(f^{-1}(x)=1+\dfrac{5}{x-2}\).
  4. \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{3-x}\).
  5. \(f^{-1}(x)=\dfrac{6}{x+2}\).

Post a Comment